Глава 2
Закони на излъчване и поглъщане

2.1  Електромагнитни диапазони

Квантовата електродинамика дава пълно описание на законите на електромагнитното излъчване и взаимодействието му с веществото. То се състои от елементарни частици фотони, които притежават вълнови и корпускурярни свойства. Основна характеристика на фотона е енергията
e = hn = hc

l
» 12 425

l
e = kT » 11605 T
(2.1)
Първата формула дава възможност да превръщаме дължините на вълните (l) на лъчението от ангстрьоми ( Å ) в енергии (e), изразени в eV. Според тази формула на 1eV » 1,24mm, което съответствува на инфрачервения диапазон, а според втората формула температура на плазма 11605 К приблизително съотвествува на енергия 1 eV, т.е. 1eV » 11605K. Електромагнитното излъчване се дели на диапазони, които се дават в таблица
Електромагнитни диапазони
Диапазон l e Поглъщане в атмосферата Приемници
Гама l < 0,1Å > 124keV N2,P2 Броячи
Рентген 0.1-100Å 124keV-1,24keV N,O,N2,O2 Броячи
Ултравиолет I 100-3100Å 1,24keV-4eV O3 ФЕУ
Ултравиолет II 3100-3900Å 3-4eV Пропуска се ФЕУ
Видим 3900-7600Å 3 -1,6eV Пропуска се ФЕУ
Инфрачервен I 0,76-15m m 1,6-0.8 eV Частично ФР, болометри
Инфрачервен II 15mm -1mm < 0.8eV Частично ФР, болометри
Радио > 1mm - Частично Антени
Полето на лъчението на един космически обект се определя от енергията на фотоните и посоката на разпространение. Електромагнитното лъчение на излъчване и поглъщане на реален космически обект представлява непрекъснат спектър с линии на поглъщане или емисия. В произволно избран обем от космическия обект има фотони с различна енергия и посока на разпространение. Количествена мярка на полето на лъчението е интензитетът I(n), който определя количеството енергия в интервал от честоти 1 Hz за 1s в 1 ster на 1 m2, разположен перпендикулярно на посоката на лъчението. Единицата за интензитет е
[I(n)]=Wm-2ster-1Hz-1.

[I(l)]=Wm-3ster-1.
Количеството енергия, което преминава от площ ds1 с нормален вектор [(n)\vec]1 към площ ds2 с нормален вектор [(n)\vec]2 в интервал честоти n, n+dn за време dt е равно на
dE(n)=I(n)dsdndtdw = I(n) dwdn
®
n
 

1 
®
n
 

2 
dl

c
ds1,
където ds = ds1cosq е проекцията на ds1 на равнината перпендикулярна на посоката [(n)\vec]2, a dw = ds2 / r2. Посоката на разпростаранение на лъчението се определя от ъгъла q на фиг. 27. Количеството енергия dE(n) в единица обем dV=[(n)\vec]1[(n)\vec]2 ds1dl = [(n)\vec]1[(n)\vec]2ds1cdt в интервал честоти dn = 1Hz се нарича плътност на енергията.
d u(n)= dE(n)

dV
= I(n)

c
dw.
Общата плътност на енергията на лъчението във всички посоки е
u(n)= у
х
I(n)

c
dw.
(2.2)
Единицата за плътност на енергия
[u(n)]=Jm-3.
Потокът на излъчването е количеството енергия, което преминава през единица площ, перпендикулярно на посоката на лъчението
F(n)= у
х
I(n)cosqdw
(2.3)
Изменението на импулса на лъчението перпендикулярно на площадката ds1 в пространствен ъгъл dw e [(I(n))/(c)] cosq. Към площадката ds2 се пренася част от този импулс пропроционално на cosq, т.е. [(I(n))/(c)]cos2 q , поради което пренесеният от лъчението импулс от ds1 към ds2 , отнесен към единица площ за единица време, наречен лъчисто налягане, е равен
dP(n)= I(n)

c
cos2qdw.
(2.4)
Има измерение на налягане, т.е. [dP(n)]=Nm-2. Лъчитото налягане във всички посоки е равно на
P(n)= у
х
I(n)

c
cos2qdw.
(2.5)
Средният интензитет е равен на нулевия момент на интензитета на излъчването
J(n)= у
х
I(n)

4p
dw
(2.6)
Вторият момент на интензитета
K(n)= у
х
I(n)

4p
cos2qdw.
(2.7)
В общия случай интегралите 2.2,2.3 и 2.6,2.7 нямат решение. За теорията представлява интерес, т.нар. изотропно излъчване, когато интензитетът е еднакъв във всички посоки. В този случай уравненията 2.2-2.5 и 2.6,2.7 придобиват вида (след като положим dw = sinqdqdj, което важи за сферични координати)
u(n)= 4p

c
I(n)
(2.8)

F(n)=0
(2.9)

P(n)= 4p

3c
I(n)= u(n)

3
(2.10)

J(n)=I(n)
(2.11)

K(n)= I(n)

3
(2.12)

2.2  Пренос на излъчването

В космическите обекти се излъчването се пренася от една към съседна област, поради което условието за изотропност на излъчването не е изпълнено. Електромагнитното излъчване в реалните космически обекти преминава през среда, която поглъща и излъчва, поради което то променя посоката на разпространение. За количествено описание на взаимодействието на лъчението с веществото на обекта се въвеждат коефициенти на поглъщане и излъчване. Коефициентът на поглъщане k(n) дава количеството на погълната енергия от единица маса на единица площ. Има измерение [k(n)]=m2kg-1 Коефициентът на излъчване e(n) дава количеството на излъчена енергия от единица маса на единица площ. Освен коефициента на поглъщане k(n) се използуват и коефициентите
k(n)=k(n)r,
наречен линен коефициент на поглъщане и
s(n)= k(n)r

n
,
където n е концентрацията на поглъщащите частици, известен още като сечение на разсейване на частичите. Свободният пробег на фотона
l= 1

s(n) n
.
Изменението на интензитета на излъчване при преминаване през сферично симетричен слой с дебелина dr се дава с уравнението
dI(n)

dt(n)
=S(n)-I(n),
(2.13)
където
S(n)= e((n)

k(n)
се нарича функция на излъчване, а
dt(n)=k(n)rdr
се нарича оптична дебелина на слоя. Уравнението 2.13 се нарича уравнение за пренос на енергията. Изменението на интензитета на излъчване dI(n) се определя от отношението на коефициентите на излъчване и поглъщане и първоначалният интензитет I(n), който пада на слоя. Дебелината на плоско-паралелен слой е равна
dh=drsecq,
където q е ъгълът между посоката на разпространение на лъчението и нормалният вектор на слоя [(n)\vec]. Уравнението за преноса 2.13за плоско-паралелен слой се записва във вида
cosq dI(n)

dt(n)
=S(n)-I(n),
(2.14)
където dt(n)=k(n)rdrsecq. За чисто поглъщащ слой e(n)=0 от уравнение 2.14 получаваме уравнението на Бугер
I(n)=Io(n)e-t(n),
(2.15)
където Io (n) е константа от интегрирането и има физически смисъл на първоначалния интензитет, който пада на разглеждния слой. Оптическата дебелина на слоя
t(n)= l
у
х
0 
k(n)rdr,
(2.16)
където l е дължината, която изминава лъчението при преминаването му през даден слой.

2.2.1  Функция на излъчването S(n)

Функцията на излъчването S(n) зависи от процесите на поглъщане и излъчване в космическия обект. Има два хипотетични случая, когато функция на излъчването S(n) описва прости случаи на физически процеси.
а) Чисто разсейване на атоми. Най-простия процес е чистото квантово разсейване. Това е хипотетичен случай, при който атомите в космическия обект поглъщат фотони с определена енергия и излъчват фотони със същата енергия, но в друга посока. При чистото квантово разсейване енергия не се пренася. Атомите временно променят своето квантово състояние, като процесите на излъчване и поглъщане са в равновесие, който означава, че броят на атомите, които променят своето състояние е равен на обратния процес. Чистото разсейване не променя разпределението на интензитета по честота, поради което се описва със средния интензитет J(n). Ако приемем чистото разсейване за определен космически обект, този случай е известен като модел на сиво тяло.
б) Истинска абсобция без излъчване. В този случай атомът след удар с друга частица (ударно възбуждане) или поглъщане на фотон се възбужда на по-високо енергетично ниво, след което излъчва няколко фотона с по-ниска енергия към основното ниво чрез междинни нива, т.нар. каскаден преход. Ако атомите на един космически обект участвуват само в такива процеси явлението се нарича истинска абсорбция без излъчване. В действителност процесите в космическите обекти са едновременно на квантово поглъщане и разсейване, като лъчението пренася енергия от един слой към друг, което означава, че лъчението е неизотропно.

2.2.2  Термодинамично равновесие

Основните физически закони като разпределението на Болцман, Максуел, законът на Планк и свързаното с тях понятие температура са приложими за космическите обекти, ако са в термодинамично равновесие. В този случай функцията на излъчване според закона на Кирхоф е функция само на честота и температурата и се дава с формулата на Планк
S(n)=B(n,T)= 2hn3

c2
1

e[(hn)/(kT)]-1
.
(2.17)
За високи честоти hn >> kT от тази формула следва приближението на Вин
B(n,T) » 2hn3

c2
e[(- hn)/(kT)].
(2.18)
За ниски честоти (hn << kT ) от формулата на Планк се получава приближението на Рейли-Джинс
B(n,T) » 2 k Tn2

c2
(2.19)
Изменението на ннтензитета на излъчване при термодинамично равновесие през даден слой dI(n)=0, което заместено в уравнението за преноса 2.13 дава
S(n)=B(n,T)=I(n),
(2.20)
което е условие за термодинамично равновесие. Заместваме I(n)=B(n,T) в уравненията 2.8 - 2.12 и получаваме
u(n)= 4p

c
B(n,T)
(2.21)

P(n)= 4p

3c
B(n,T)= u(n)

3
(2.22)

K(n)= B(n,T)

3
(2.23)

2.2.3  Абсолютно черно тяло

При термодинамично равновесие излъчването е изотропно, поради което F(n)=0. Очевидно това условие не е изпълнено за звездите и Слънцето, които излъчват значителни потоци. За изследването на звездите най-важна роля има моделът на абсолютно черно тяло, за който потокът на лъчението е функция на интензитета при термодинамично равновесие
F(n,T)= у
х
B(n,T)cosqdw = 2p
у
х
0 
dj й
л
p
у
х
0 
B(n,T) cosqsinqdq+ 0 p
у
х
p\2 
sinqdsinq = pB(n,T) щ
ы
.
(2.24)
При извода на това уравнение се приема, че излъчването на абсолютно черно тяло е изотропно излъчване от тяло с постоянна температура, което поглъща напълно всяко външно излъчване, т.е. интензитетът B(n,T)=0 , ако [(p)/2] Ј q Ј p. Интегрираме формулата на Планк 2.17 по всички честоти и получаваме
B(T) = b T4,
(2.25)
в която
b = 2p4k4

15c2h3
.
(2.26)
Заместваме зависимостта 2.25 в уравненията 2.21, 2.22 и 2.24 и получаваме зависимостите
u(T)=aT4,
(2.27)
където
a= 4pb

c
(2.28)

F(T) = sT4,
(2.29)
където s = pb. Лъчистото налягане 2.22 на абсолютно черно тяло се дава с уравнението
PR = 4p

3c
B(T) = 4psT4

3c
(2.30)
Концентрацията на фотоните се дава с уравнението
n= a

k
T3.
(2.31)
Основните зависимости, изведени за термодинамично равновесие и абсолютно черно тяло се използуват в условията на локално термодинамично равновесие. Въпреки че излъчването на космическите обекти е неизотропно, в повечето изследвания се предполага, че температурата се определя от законите за термодинамично равновесие. Условието за локално термодинамично равновесие предполага
S(n)=B(n,T) I(n)
.

2.3  Идеален газ

Уравнението за състоянието на идеалния газ записваме във вида
P= R

m
rT=nkT,
(2.32)
където означенията са както следва: P е налягането на газа, m = [(m)/(mu)] e относителната атомна маса на една частица, m e масата на една частица, mu=[1/12]m12C=1,66.10-27 kg e единичната атомна маса, m12C е масата на въглеродния атом, a r - плътността на газа. Количество от mkg идеален газ се нарича 1 kmol. Броят на частиците в 1 kmol се бележи с NA и се нарича число на Авогадро
NA= m

m
= 1

mu
.
(2.33)
Относителното съдържание на водорода и хелия в един космически обект бележим съответно с X и Y, а на всички други химични елементи със Z, т. нар. тежки елементи, като ги нормираме по следния начин
X+Y+Z=1
. За нормален космичен химичен състав приемаме
X=0.7, Y=0.28 , Z=0,02
. Като използуваме уравнениq 2.33 и озаченията след 2.33 Определяме относителната атомна маса на една частица от космически обекти, които се състоят, както следва: 1)напълно йонизиран газ
m = 1

2X+ 3Y

4
+ Z

2
.
(2.34)
2)неутрален газ
m = 1

X+ Y

4
+ Z

n
» 1

X+ Y

4
» 4 (2 X + Y)-1.
(2.35)
3)молекулен газ от H2
m = X

2
+ Y

4
+ Z

n
,
(2.36)
където n е поредния номер на химическия елемент в таблицата на Менделеев. За космическия газ n > 2. Топлинният капацитет
c= dQ

dT
.
Първият закон на термодинамиката се записва във вида
cv dT=dQ-PdV.
(2.37)
От първия закон на термодинамиката и уравнението за състоянието на идеалния газ следват следват уравненията на адиабатния процес
TV1-g
=
const.
(2.38)
PVg
=
const.,
T P [(1-g)/(g)] = const. ,
където g = [(cp)/(cv)] . Уравнението за ентропията се записва във вида
dS і dQ

dT
,
(2.39)
където знакът за рвенство се отнася за необратим термодинамичен процес. От това уравнение и първият закон на термодинамиката 2.37 се получава уравнението за ентропията за равновесен процес
S=NklnVT1/(g-1)
(2.40)

2.4  Формула на Саха

Потенциалът на йонизазия на атом намиращ се в квантово състояние n е равен на
cn = eҐ - en ,
като по определение потенциалът на йонизация в основно състояние на атома съответствува енергия c1=eҐ Свободният електрон има енергия
ee = me ve2

2
= p2

2me
,
където p е импулса на свободния електрон. Йоните са в състояние с енергия cn. Енергетичното състояние на системата йон + електрон е равна на енергията на йонизиращия фотон
ei = cn + me ve2

2
= cn + p2

2me
.
Броят на йоните, които имат скорости v означаваме с Ni(v) , а броят на неутралните атоми в енергетично състояние n с Nn. От уравнението на Болцман следва
Ni(v)

Nn
= ge

gn
e[(-p2)/(2me kT)] e[( - cn)/(kT)],
(2.41)
където ge е броят на възможните квантови състояния на свободните електрони, който може да се определи по следния начин. Броят на квантовите състояния на електрона в шестфазовото пространство са
dN= dpxdpydpz

h3
,
(2.42)
което записано в сферични координати дава за броя на квантовите състояния на един електрон
ge= 2p2dpsinqdj

neh3
,
(2.43)
което заместено в уравнение 2.41 дава
Ni

Nn
ne = 4 p

h3 gn
e[(- cn)/(kT)] у
х
Ґ

0 
e-[(p2)/(2me kT)]2 p2 dp.
(2.44)
Полагаме
u= p2

2me kT
или
p=(2mekT)[(1)/(2)] u[(1)/(2)]
След като го заместим в уравнение 2.44 получаваме
Ni

Nn
= 4 p(2 mekT)[(3)/(2)] e[(- cn)/(kT)] у
х
Ґ

0 
u[(1)/(2)] e-u du
(2.45)
Като вземем под внимание, че
G ж
и
3

2
ц
ш
=

Ц

p

2
Получаваме формулата на Саха
Ni

Nn
ne = 2gi

gn
(2pme kT)[(3)/(2)]

h3
e[(- cn)/(kT)].
(2.46)
Като вземем под внимание функцията на частиците Z(T) , формулата на Саха може да се запише още в следния вид
Ni

Nn
ne = 2Zi

Zn
(2pme kT)[(3)/(2)]

h3
e[(- cn)/(kT)].
(2.47)
Означенията по-горе са както следва:
cn = eҐ-en - необходимата енергия за йонизация на атома, т. нар. енергия на йонизация.
ei=cn+[(me ve 2)/2] - енергията на йонизиращия фотон
eҐ +[(me ve 2)/2] - енергията на континиумния електрон (свободен електрон). Енергията на йонизиращия фотон според закона за запазване на енергията е равна на сьстоянието на системата йон + електрон, така че Ni(v) е броят на йоните, чийто електрони имат скорости v , ge е статистическото тегло на свободния електрон.

2.4.1   Решение на формулата на Саха

Полагаме x = [(Ni)/(N)] , където N = Ni+N0 е общият брой частици, Ni - броят на йоните, а N0 - броят на неутралните частици. Тогава като се има предвид, че при еднократна йонизация Ni = Ne, получаваме

x2

1+x
= Ni Ne

N
= gi

gn
(2pme kT)[(3)/(2)]

h3
e[(- cn)/(kT)].
(2.48)

2.4.2  Следствия от формулата на Саха

1) Главен ефект. Отрицателните йони на водорода H- поглъщат фотоните с енергии c » 1.5 eV , които поглъщат фотоните с l Ј 800 nm , при което връзката между електрона и водорода се разрушава. Звездите от сферичната компонента на Галактиката са бедни на метали, а следователно и бедни на електрони. Поглъщането на отрицателните йони на водорода H- определят коефициента на поглъщане k(n) във видимия диапазон на спектъра на звездите с T » 6000 K. Поради ниската плътност на отрицателните йони на водорода H- оптичната дебелина на фотосферата на звездите от сферичната компонента на Галактиката е по-ниска, отколкото на звездите с нормално съдържание на метали, подобно на това на Слънцето, поради което при един и същи спектрален клас звездите от сферичната компонента са с с по-високи светимости от звездите от плоската компонента на Галактиката , което е известно като главен ефект от формулата на Саха.
2) Вторичен ефект. Бланкетиг ефектът е по-малък върху непрекъснатия спектър на звездите от сферичната компонента, което допълнително повишава тяхната светимост.
3) В спектрите на звездите от спектрален клас G преобладават неутралните химични елементи.
4) Атмосферите на звездите гиганти имат по-ниска електронна плътност, поради което отношението [(Ni)/(Nn)] във формулата на Саха 2.45 е по- голямо, отколкото в звездите джуджета. Следователно при еднаква температура звездите гиганти имат по-ярки спектрални линии на йонизираните елементи от джуджетата. Отношението на интензитетите на спектралните линии на йонизираните към неутралните химични елементи допълнително нараства за сметка на по-ниската плътност на неутралните атоми в гигантите за сметка на йонизацията.
5) Спектралната последователност не е точен физичен индикатор на температурата, поради ефектите на йонизацията в атмосферите на гигантите и джуджетата.

2.5  Астрофотометрия

Потокът на единица площ е равен на
F(T)=sT4
Светимостта на звезддата е равна на
L=4pR2sT4
(2.49)

2.5.1  Закон на Погсън

Ако с r означим разтоянието r до звездата, на Земята тя създава осветеност
E= L

4pr2
=s ж
и
R

r
ц
ш
2

 
T4 = q2F(T)

4
,
(2.50)
където q е ъгловият диаметър на звездата.
Звездната величина m е относителна логаритмична скала на осветеността на звездата
m-m0=-2.5 lg E

E0
(2.51)
Това уравнение е известно като формула на Погсън.
Пред звездната величина се поставят различни определения в зависимост от реакцията на приемника Функцията на чувствителност на приемника се дава с нормираната функция
у
х
Ґ

0 
j(l)dl = 1
(2.52)
Фигура 28. Функция на чувствителност в относителни единици на фотометричната система UBVи на човешкото око (v).
Звездната величина определена с уравнение 2.51 се нарича монохроматична.
На практика звездната величина се отнася за определен спектрален интервал от електромагнитния диапазон и се нарича хетерохромна.
m - m0 = -2.5lg
у
х
Ґ

0 
E(l,T)j(l)dl

у
х
Ґ

0 
E0(l,T)j0(l)dl
(2.53)
Например, функцията на чувствителност на човешкото око, т. е. j(l) 0 е в спектралния интервал 390 Ј l і 760 nm. Звездната величина, определена с човешкото око се нарича визуална и се бележи с mv. Основна характеристика на приемника на електромагнитното лъчение е ефективната дължина на вълната
leff=
у
х
Ґ

0 
lj(l)dl

у
х
Ґ

0 
j(l)dl
(2.54)
Ефективната дължина на вълната на човешкото око е leff = 555 nm. Съвременните приемници на лъчението на астрономическите обекти са фотоелектронни умножители (ФЕУ) или CCD (Charge Couple Divice) матрици, които превръщат фотонния поток съответно в електричен ток или електричен заряд, който е пропроционален на осветеността, която създава обекта във фокуса на астрономическия телескоп. Основна фотометрична характеристика на звездите е цветовия индекс
CI=m1-m2=- 2.5 lg
у
х
Ґ

0 
E(l,T))j1(l)dl

у
х
Ґ

0 
E(l,T)j2(l)dl
+ const, ,
(2.55)
където звездните величини m1 и m2 се отнасят за един и същ обект, но са получени с различни приемници в различни спектрални диапазони, чиято спектрална чувствителност (приемник + филтър) се дава с съответно с функциите j1(l) и j2(l). Приемаме, че осветеността в последната формула се дава с приближението на Вин, защото осветеността е пропроционална на интензитета на излъчване. Заместваме във формулата на Погсън 2.18 и получаваме
CI= 1.086 hc

kT
ж
и
l1

l2
ц
ш
5

 
ж
и
1

l1
- 1

l2
ц
ш
(2.56)

2.5.2   Фотометрична система U, B, V

По формула 2.53 се определя инструменталната звездна величина на обекта, която съответствува на спектралната чувствителност, т.е. електричния заряд е различен за различните спектрални диапазони в зависимост от приемната апаратура, която включва комплекса телескоп, филтър и приемник (CCD детектор). Инструменталните звездни величини се привеждат в стандартна фотометрична система. Съвремената астрофотометрия приема като основна системата U, B, V (по началните букви на спектралните диапазони Ultraviolet, Blue, Visual). Фотометричната система UBV определя звездните величини на астрономическите обекти в ефективни дължини около 360, 420 и 530 nm. В тази система се използуват два цветови индекса: ултравиолетов U-B и син B-V, като се приема U-B=B-V=0 за спектрален клас A0V. Цветовият индекс B-V е по- добър индикатор на температурата. Специално за звездите цветовият индекс B-V се изменя в границите от -0,46 до +2.3

2.5.3  Междузвездно поглъщане

Пространството между звездите е запълнено с вещество от газ и прах, наречено междузвездна среда. Междузвездният газ се състои от 90 % водородни атоми. Междузвездният прах съставлява около 1 % от масата на междузвездната среда. Състои се от малки твърди частици с размери около 1 mm, които се образуват във външните части на атмосферите на червените гиганти и свръхгиганти. Междузвездните прашинки разсейват излъчването на звездите, като намаляват интензитета на излъчването и изменят неговото разпределение по дължини на вълните. Отслабването първоначалния интензитет на лъчението на звездите при преминаването му през междузвездната среда, изразено в звездни величини се нарича междузведно поглъщане.
Al = -2.5lg B(l, T)

B0 (l,T)
= 1,086t(l),
(2.57)
където B0(l, T) е интензитета на една звезда, неповлиян от междузвездното поглъщане, а B (l,T) е интензитета на звездата след преминаване на лъчението през междузвездната среда. Междузвездното поглъщане е различно за различните дължини на вълните. Като в интервала 0.3 Ј l Ј 0.9 mm зависимостта е
Al ~ 1

l
.
Междузвездното поглъщане е най-силно в синята част на спектъра, а най-слабо в червената и инфрачервената област на спектъра, поради което то цветовият индекс B-V на звездата нараства след преминаването на разстояние r през междузвездната среда. Това изменение на първаначалния интензитет на светлината в зависимост от дължината на вълната се нарича селективно поглъщане. Изследванията показват, че подобна зависимост на поглъщането от дължината на вълната имат прахови частици с несферична форма и с диаметър от 0,1 mm до 1 mm или средно d » 0,5 mm. Напречното сечение на междузвездните прашинки е s = pr2 » 10-13m2. Те са силикатни частици покрити с лед. Поради селективното поглъщане цветовият индекс B-V на звездите се увеличава при преминаването на лъчението през междузвездната среда, което се нарича още междузвездно почервеняване. Цветовият индекс, неповлиян от междузвездното разсейване на лъчението се нарича истински цветови индекс и се бележи с (B-V)0. Ако ефективните дължини на вълните на звездните величини B и V означим съответно с lB и lV, формула 2.56 можем да запишем във вида
(B-V)0 = b

T
ж
и
1

lV
- 1

lB
ц
ш
,
(2.58)
където b е константа, която се определят от ефективните дължини на вълните на звездните величини B и V
b= 1.086 hc

k
ж
и
lV

lB
ц
ш
5

 
.
Истинският цветови индекс, даден с формула 2.58 се калибрира като функция на температурата с формулата
T= 7300

(B-V)0+0,60
(2.59)
Количествена мярка за междузвездното почервеняване е цветовия ексцес
EB-V=(B-V)-(B-V)0=AB-AV=1,086 [t(B)-t(V)],
(2.60)
t(B) и t(V) са съответно оптични дебелини на междузвездната среда за ефективните дължини на вълните на звездните величини B и V. Пълното поглъщане в звездните величини B и V се изразява чрез цветовия ексцес с формулите

AV = 3,3 EB-V
и
AB=4,3 EB-V.
Тези формули дават възможност пълното поглъщане да се определи чрез цветовия ексцес на звездата. Обаче от друга страна
AV=sVnr,
където приемамe AV=1,6; r = 1kpc и получаваме n=10-7m-3.

2.5.4  Абсолютна звездна величина

От формулата за осветеността
E0= L

4pr2
,
където E0 е осветеността, която би създала звздата, ако нямаше междузвездно поглъщане като логаритмуваме и умножим по -2,5 получаваме
m0 - M = 5 lgr + c.
(2.61)
Полагаме m0=M, ако разстоянието до звездата е r= 10 pc и получаваме c = -5. Тази формула най-често се прилага за UBV система, като отчитаме поглъщането в звездната величина
V0=V-3,3 EB-V
и получаваме фотометричното разстояние
r=10-0,4(V0-MV+1).
(2.62)

2.5.5  Болометрична звездна величина

Звездната величина, която съответствува на излъчването в целия електромагнитен диапазон, се нарича болометрична
Vbol=V+BC
или
Mbol=MV+BC,
където BC се нарича болометрична поправка. Тя е отрицателна величина и се дава таблично в астрономическите справочници. Абсолютната звездна величина на Слънцето е
MVsun=4,83,
а болометричната
Mbolsun=4,72.
Абсолютната звездна величина на звездите се определя по формулата
Mbol-Mbolsun=-2,5lg L

Lsun
.
(2.63)

2.6  Основи на спектралния анализ

2.6.1  Спектрални серии

Всеки химичен елемент в спектъра на звездата дава серия от тъмни спектрални линии върху яркия фон на непрекъснатия спектър. Освен линиите на космическия обект в спектъра на звездата има телурични линии, които се отъждествяват лесно поради известния химичен състав на земната атмосфера. Основните енергетични състояния на Н атом съответствуват на квантови числа
Wn= 13,6

n2
eV
Дължините на вълните в nm от серията на Н атом се дават с формулата на Балмер
1

lnk
= 1

91.2
ж
и
1

n2
- 1

k2
ц
ш
,
(2.64)
Линиите с дължини от комбинацията n = 1 и k > n се наричат серия на Лайман,
като n = 1и k = 2 е първата линия от серията на Лайман и се нарича La с дължина l = 121,6 nm
Линиите с дължини n = 1 и k = Ґ съответствуват на рекомбинация на електрони с различни енергии и дават поглъщане в непрекъснатия спектър, т. нар. Лайманов континиум с дължини lc < 91,2 nm. Линиите с дължини n=2 и k > n образуват серията на Балмер
Линията с n=2 и k= 3 е първата линия от серията на Балмер и се нарича Ha с дължина l = 635,5 nm
Линиите с дължини n =2 и k = Ґ съответствуват на рекомбинация на електрони с различни енергии на енергетично ниво n=2 и дават поглъщане в непрекъснатия спектър, т. нар. Балмеров континиум.
Преходите на енергетични нива n=3, 4 и k > n съответствуват на сериите на Пашен, Пикеринг и т.н.

2.6.2  Забранени линии

Времето на престой на Н атом на възбудено енергетично ниво с главно квантово число k се дава с формулата
tk=8,4.10-11k5 sec.
като
t2=3.10-9 sec.
Основното ниво на Н атом се състои от две поднива B и A, които съответствуват на паралелни и антипаралелни спинове на протона и електрона като
tB= » 1016 sec.,
което е около милиард години. Такива нива се наричат метастабилни, а съответните спектрални линии, които се образуват от преходи от тези нива - забранени линии. Когато времето на престой на метастабилни нива е много по-голямо от времето на свободен пробег на частиците в един космически обект, както в земни условия, е невъзможно наблюдаването на забранени линии. Наблюдаването на забранени линии е възможно при много ниски плътности на излъчващия газ в космическите обекти. Колкото плътността на газа в обекта е по-ниска, толкова по-голямо е времето на свободен пробег и съответно по-висока вероятността за излъчване на забранени линии. Такива условия съществуват в междузвездните облаци и короните на Слънцето и звездите.

2.6.3  Профил на спектрална линия

Относителният интензитет на излъчването в спектрална линия се дава с отношението
r(l)= I(l)

I0(l)
,
(2.65)
където I0(l) е екстраполирания интензитет на непрекъснатия спектър в дължина l, а I(l) е интензитета в спектралната линия за същата дължина. Графичното изобразяване на функцията r(l) се нарича профил на спектралната линия. Пълният интензитет, погълнат от спектралната линия
W(l)= у
х
(1-r(l))dl
(2.66)
се нарича еквивалентна ширина на спектралната линия. Той показва каква част от енергията в непрекъснатия спектър е еквивалентна на интензитета на излъчване, отслабен от погълъщането или разсейването в дължините на спектралната линия.

2.6.4  Ефекти на разширение

1) Квантово разширение. От съотношението за неопределеност на Хайзенберг
Dek tk і h
следва, че колкото по-малко е времето за престой tk на енергитично ниво с квантово число k, толкова по-голямо е разширението Dek на това ниво. Поради квантовата неопределеност Dek на енергетичното ниво атомът вместо монохроматична светлина с дължина l0 излъчва в диапазон от дължини l = l0+Dl, където
Dl = l02

c
1

tk
.
В атмосферите на звездите Dl » 10-5 nm. Наблюдаваните ширини са хиляди пъти по-големи от естественото квантово разширение, поради което няма практическо приложение в астрофизиката.
2) Ефект на Щарк.
Поради топлинното движение на атомите те непрекъснато се оказват на различни разстояния от йоните и електроните на космическата плазма. Хаотичният характер на топлинното движение на атомите е еквивалентно на престой на атома в непрекъснато променящо се елктрично поле. Поради ефекта на Щарк (разцепване на енергетичните нива в постоянно електрично поле) енергетичните нива на атомите се оказват разширени като ширината на спектралната линия се определя от формулата
Dl = l02

c
1

tc
,
където tc е времето на свободен пробег, което е обратно пропроционално на плътността на космическия газ, т.е. tc ~ [1/(r)]. Оказва се, че разширението на спектралните линии е най-голямо в звездите с плътни атмосфери като джуджетата.
3) Ефект на Доплер
От уравненитето на Максуел следва, най-вероятната скорост на частиците в идеалния газ зависи от температурата
v=   ж
Ц

2kT

m
 
.
Хаотично движещите се атоми ще излъчат спектрална линия със ширина
DlD= l0

c
  ж
Ц

2kT

m
 
.
Разширението на спектралната линия вследствие промяната на компонентата на скоростта по зрителния лъч на случайно и хаотично движещите се атоми се нарича доплерово разширение на спектралната линия.

2.7  Методи за определяне на температурата

2.7.1  Модел на Абсолютно черно тяло (АЧТ)

Законите за АЧТ могат да се прилагат за лъчение от оптически дебели слоеве, т.е. t > 1. Обаче най-често се прилагат за атмосфера, която заема междинно положение между напълно непрозрачните слоеве във вътрешността на звездата t > 1 и атмосферата на звездата с t < < 1. Приемниците на лъчението регистрират излъчването от слоеве с t » 1. По-дълбоките слоеве на Слънцето и звездите са трудно наблюдаеми, защото t бързо нараства в по-дълбоките слоеве и бързо намалява към по-външните. Наблюдаеми са онези слоеве, от които газът започва да става непрозрачен. Тези слоеве се наричат фотосфера. За тях законите на АЧТ са изпълнени само приблизително. Разпределението на енергията на излъчването от фотосферата показва отклонение от модела на АЧТ ± 500К. По формулата на Вин за максимума в разпределението на енергията lmax.T=0.0029 получаваме за температурата на Слънцето T = 6750 K. Обаче този закон е приложим за Слънцето и няколко звезди, за които е известен максимумът в разпределението на енергията. По-широко приложение намира закона на Стефан-Болцман. От него за Слънцето определяме
Teff = 5770 K
Ефективната температура на звездите е най-удобно да се определи по формулата за осветеността 2.51 и преди нея, като се използуват ъгловите диаметри на звездите, получени по интерференчни измервания или окултации на звездите. Освен ефективната температура в астрофизиката се използуват още следните определения за температури:
1) Яркостна температура е температура на АЧТ определена за монохроматично излъчване на космическия обект.
2) Цветовата температута се определя по закона на АЧТ за определен участък от непрекъснатия спектър на космическия обект.

2.7.2  Определяне на температурата чрез спектрален анализ

Газовите слоеве на космически обект, които са оптически тънки t < 1 за собственото си излъчване, интензитетът на излъчването в спектралната линия е пропроционален на броя на поглъщащите атоми, които разсейват излъчването по зрителния лъч. Коефициентът на поглъщане в спектралната линия kSp (n) , който е значително по-висок от този в непрекъснатия спектър kc(n) , се определя от силата на осцилатора на спектралната линия f, който е равен на класическия брой осцилатори, които по поглъщателна способност в дължината на спектралната линия са еквивалентни на един атом. За резонансни линии f » 1 . Такива са спектралните линии, които възникват от квантови преходи от най-ниското разрешено ниво на основното енергетично ниво. Например, такава е линията La. Във високите слоеве на фотосферата, където kSp(n) >> kc(n), се формира спектрална линия. Доплеровото разширение на спектралната линия е функция от температурата на слоя.
DlD= l

c
  ж
Ц

2kT

m
+vt2,
 
където vt е турбулентната скорост в атмосферата на звездата. Лоренцовият профил на спектралната линия е резултат от ефекта на Щарк. В спектралния анализ по наблюдателните данни и теорията се строи зависимост на еквивалентната ширина от дължината на вълната във вида
lg W(l)

l
-lggfl,
където g е статистическото тегло на енергетичното ниво. За различните спектрални линии на един и същ химичен елемент се получават зависимостите
T= De

kDx

Dy ~ v=   ж
Ц

2kT

m
+vt2
 
,
където Dx и Dy се получават експериментално, а De е разликата в потенциалите на спектралните линии на химичния елемент. Ако се използуват формулите на Болцман и Саха могат да се определят броят на поглъщащите атоми, които са допринесли за образуването на спектралната линия. Чрез тях може да се определи съдържанието на химичните елементи в атмосферата на звездата.



File translated from TEX by TTH, version 3.59.
On 22 Mar 2004, 11:08.