ВАЛЕНТИН ПОПОВ

 

 

 

 

ВЕКТОРНО И ТЕНЗОРНО СМЯТАНЕ

 

УЧЕБНО ПОМАГАЛО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОФИЯ 2009

Учебното помагало е съставено по програмата на дисциплината "Векторно и тензорно смятане" - разширен курс, за специалност физика (степен на обучение бакалавър) на Физическия факултет на Софийския университет. За курса е предвиден хорариум от 45 часа лекции и 30 часа семинарни занятия в рамките на един семестър.


Съдържание

I. Векторна и тензорна алгебра във векторно пространство, отнесено към ортонормиран базис. 5

1. Скалари и вектори. Събиране на вектори. Умножение на вектор по скалар. Линейна зависимост на вектори. Разложение на вектор. Векторен базис. 5

2. Скаларно и векторно произведения на два вектора. Символи на Кронекер и Леви-Чивита. 6

3. Смесено произведение на три вектора. Двойно векторно произведение на три вектора. 8

4. Права и обратна трансформация на базисните вектори. Закон за трансформация на вектор и псевдовектор. 10

5. Понятие за тензор. Тензор на напреженията. Закон за трансформация на тензор. Тензори от втори ранг. 11

6. Събиране и умножение на тензори. Контракция на индекси. Симетрични и антисиметрични тензори. Симетризиране и алтерниране. 14

7. Еквивалентност на антисиметричен тензор от втори ранг на аксиален вектор. 15

8. Главни оси на тензор от втори ранг. Привеждане към главните оси. 16

9. Инварианти на тензор. Девиатори. Признак за тензорност. 18

10. Псевдотензори. Закон за трансформация. Единичен псевдотензор. 20

II. Векторна и тензорна алгебра във векторно пространство, отнесено към клиногонален базис. 22

11. Трансформация на базисните вектори. Взаимни базиси. 22

12. Ковариантни и контравариантни компоненти на вектор. Трансформация на компонентите. 23

13. Връзка между ковариантните и контравариантните компоненти на вектор. Метричен тензор. 24

14. Физически компоненти на вектор. Скаларно, векторно и смесено произведения на вектори. 26

15. Ковариантни, контравариантни и смесени компоненти на тензор. Операции на вдигане и смъкване на индекси. 28

16. Събиране и умножение на тензори. Контракция на индекси. Симетрични и антисиметрични тензори. Привеждане към главните оси. Инварианти. Псевдотензори. 29

III. Векторен и тензорен анализ - декартов аспект. 31

17. Ортонормиран декартов репер. Трансформация на координатите. 31

18. Векторна функция на времето. Непрекъснатост. Производни. Неопределен интеграл. 32

19. Приложение на производна на вектор по скалар. Формули на Френе. 33

20. Функции на векторен аргумент. Скаларно и векторно поле. Изоповърхности. Векторни линии. 35

21. Теорема на Остроградски. 36

22. Теорема на Стокс. Теорема на Грийн. 37

23. Производна по посока на скаларно поле. Градиент на скаларно поле. Свойства. Оператор на Хамилтон. 40

24. Абсолютна дефиниция на градиент на скаларно поле. 41

25. Производна по посока на векторно поле. Градиент на векторно поле. Тензор на деформациите. 43

26. Поток на векторното поле. Дивергенция на векторното поле: абсолютна и координатна дефиниции. Смисъл на дивергенцията. 47

27. Циркулация на векторното поле. Ротация на векторното поле: абсолютна и координатна дефиниции. Смисъл на ротацията. 49

28. Поле на тензор от втори ранг. Производна по посока, поток и дивергенция на тензорното поле. 51

29. Интегрални теореми, свързани с теоремите на Остроградски и на Стокс. Първа и втора формули на Грийн. 52

30. Потенциално векторно поле. Скаларен потенциал. 54

31. Соленоидално векторно поле. Векторен потенциал. 56

32. Лапласово векторно поле. Хармонични функции. 57

33. Основна теорема на векторния анализ. 59

IV. Векторен и тензорен анализ В КРИВОЛИНЕЙНИ КООРДИНАТИ.. 62

34. Криволинейни координати. Координатни повърхности и линии. 62

35. Линеен елемент. Лицев елемент. Обемен елемент. Коефициенти на Ламе. 63

36. Ковариантна производна на вектор. Символи на Кристофел. 64

37. Свойства на символите на Кристофел и ковариантната производна на вектор. 66

38. Ковариантна производна на тензор. Теорема на Ричи. Хомогенно векторно поле. 67

39. Диференциални оператори в ортогонални криволинейни координати. 69

40. Диференциални оператори в общи криволинейни координати. 72

Литература. 74


I. Векторна и тензорна алгебра във векторно пространство, отнесено към ортонормиран базис

1. Скалари и вектори. Събиране на вектори. Умножение на вектор по скалар. Линейна зависимост на вектори. Разложение на вектор. Векторен базис

Скаларите и векторите са величини от основно значение за физиката. Ще се ограничим само със скалари, приемащи реални числени стойности, и с векторите от класическата геометрия.

Векторите се характеризират с числена стойност (големина, дължина или модул) и посока. Векторите ще означаваме с плътни латински букви: , , . Модулът на вектор ще означаваме така: |А| = А. Векторите се представят геометрично с насочени отсечки.

Сумата на вектори е вектор, който се намира по правилото на успоредника (за два вектора) и правилото на многоъгълника (за два и повече от два вектора). Събирането на вектори има свойствата:

(комутативност),

(асоциативност).

Нулев вектор е вектор с модул равен на нула; означава се с . Той има свойството за всеки вектор .

Всеки вектор има противоположен вектор със свойството .

Произведението на вектор със скалар m е вектор с модул mA, който е еднопосочен (при m > 0) или противопосочен (при m < 0) на вектора A. В частност, умножението на вектор на единица не го променя. Умножението на вектор с число има свойствата

(асоциативност),

, (дистрибутивност).

Множеството на векторите с дефинирани събиране на вектори и умножение на вектор с реално число с изброените свойства образува линейно векторно пространство над полето на реалните числа.

Векторите , , ..., се наричат линейно зависими, ако съществуват скалари , , ..., , не всичките равни на нула, такива, че .

Два линейно зависими вектора са успоредни един на друг. Наистина, от следва с . Такива вектори се наричат колинеарни.

Три линейно зависими вектора лежат в една равнина. Наистина, от следва с и . Такива вектори се наричат компланарни.

Ако два вектора и са линейно независими (т.е. не са колинеарни), то всеки вектор , компланарен с тях, може да се разложи по единствен начин по тези два вектора, т.е. .

Ако три вектора , , са линейно независими (т.е. не са компланарни), то всеки вектор може да се разложи по единствен начин по тези три вектора, т.е. . Следователно, всеки четири вектора в тримерното пространство са линейно зависими.

Системата от три произволни линейно независими вектора , , образува по определение базис на тримерното пространство. Базисът се нарича десен (ляв), ако трите базисни вектора са ориентирани по правилото на десния (левия) винт.

От казаното по-горе следва, че за всеки вектор съществува единствено разложение по базисните вектори

.

Скаларите , , се наричат компоненти на вектора A в дадения базис.

2. Скаларно и векторно произведения на два вектора. Символи на Кронекер и Леви-Чивита

Скаларно произведение на два вектора и се нарича произведението от модулите им и косинуса на ъгъла между тях: .

Скаларното произведение има свойствата

(комутативност),

(дистрибутивност),

(асоциативност),

ако за всяко A, то B = 0.

Линейно векторно пространство с дефинирано скаларно произведение с тези свойства се нарича евклидово векторно пространство.

Необходимото и достатъчно условие за ортогоналност на два вектора и се дава с .

Норма на вектора A се нарича скаларното произведение на вектора на себе си . Тогава модулът (дължината) на вектора е . Едно векторно пространство се нарича истинско евклидово, ако е евклидово и ако нормата на всеки ненулев вектор е строго положителна.

Проекцията на вектор върху права, определена от единичен вектор очевидно е . Тогава скаларното произведение на вектори и може да се запише така .

Ако векторите на един базис са взаимно ортогонални и нормирани на единица (т.е. с модул равен на единица), такъв базис се нарича ортонормиран. Векторите на ортонормиран базис ще означаваме с , , ; за тях по дефиниция

,

където , ако , и , ако ; се нарича символ на Кронекер. В тази глава ще разглеждаме само ортонормирани базиси.

Разложението на произволен вектор A по ортонормиран базис ще записваме така

.

Тогава

, , .

Следователно, компонентите са проекции на вектора върху векторите на базиса. Така всеки вектор може да се запише във вида

.

Скаларното произведение на два вектора и може да се запише чрез компонентите им така:

.

По-нататък ще изпускаме знака за сума и ще използваме правилото за сумиране по подразбиране по повтарящи се индекси на едночлен (правило на Айнщайн), т.е.

Векторно произведение на два вектора и се нарича вектор , насочен перпендикулярно на равнината на двата вектора в посока, определена по правилото на десния/левия винт (за десен/ляв базис), и с големина, равна на площта на успоредника, построен върху тези вектори, т.е. . Нататък по подразбиране ще разглеждаме само десни базиси.

Векторното произведение има свойствата

(не е комутативно!),

(дистрибутивност),

(асоциативност).

Необходимото и достатъчно условие за колинеарност на два вектора и се дава с

.

Отново разглеждаме разложение на вектор по ортонормиран базис . Лесно се показва, че векторите на базиса е в сила равенството

,

където индексите са циклична пермутация на числата 1,2,3. Тогава векторното произведение на два вектора и може да се запише чрез компонентите им така:

или

,

където индексите са циклична пермутация на числата 1,2,3, или

,

където , ако са циклична пермутация на 1,2,3, , ако са нециклична пермутация на 1,2,3, и във всички останали случаи; се нарича символ на Леви-Чивита.

Често е удобен и следния запис във вид на детермината

.

3. Смесено произведение на три вектора. Двойно векторно произведение на три вектора

Да разгледаме векторно-скаларното (т.нар. смесено) произведение на три вектора , и : . Лесно се вижда от геометрични съображения, че това произведение дава обема V на паралелепипеда, построен върху трите вектора

,

Знакът е +/−, ако ъгълът между векторите A и BC е остър/тъп (независимо от това дали базисът е десен, или ляв).

С използване на символа на Леви-Чивита намираме

.

Смесеното произведение има следните свойства

,

.

В комбинация със свойствата на скаларното и векторното произведения намираме

,

т.е. знаците за тези произведения могат да се разменят без промяна на смесеното произведение.

Необходимото и достатъчно условие за компланарност на три вектора , и е . Ако спрямо десен/ляв базис , то , и образуват базис; ако , то базисът е десен/ляв, а ако , то базисът е ляв/десен.

Да разгледаме двойното векторно произведение на три вектора , и : . То е вектор в равнината на и , който е перпендикулярен на . За да намерим този вектор, използваме разложението . Векторите и имат компоненти , , . Следователно . Аналогично получаваме и за другите две проекции на E. Следователно

(формула "БАЦ-ЦАБ"),

.

Тази формула може да се докаже с използване на символа на Леви-Чивита:

.

Свойството на двойното векторно произведение

се доказва с използване на формулата "БАЦ-ЦАБ".

 


4. Права и обратна трансформация на базисните вектори. Закон за трансформация на вектор и псевдовектор

Да намерим връзката между базисните вектори на два ортонормирани базиса , , и , , . Между тези вектори съществува линейна зависимост от вида

и .

За да намерим връзката между коефициентите и , да умножим първото уравнение с , а второто с , сумираме по l и получаваме

и .

С други думи, коефициентите в двете линейни зависимости са свързани помежду си

.

Окончателно получаваме за трансформацията на базисните вектори

(права трансформация),

(обратна трансформация).

Заместваме първото уравнение във второто и второто уравнение в първото и получаваме

,

.

От тези две уравнения намираме следните съотношения

,

.

Ако разглеждаме величините като елементи на следната матрица

,

то горните съотношения показват, че тази матрица е ортогонална, т.е. . Затова тези съотношения се наричат съотношения за ортогоналност. Трансформация на вектори, осъществявана от ортогонална матрица, се нарича ортогонална.

Да разгледаме трансформацията на компонентите на вектор A при трансформация на базиса. Имаме

,

.

Следователно

(права трансформация),

(обратна трансформация).

Тези съотношения изразяват закона за (правата и обратната) трансформация на вектор A. Забелязваме, че правите и обратните трансформации на базисните вектори и на компонентите на вектор A си съответстват.

Може да се покаже, че ортогоналната трансформация запазва сумата на вектори, произведението на вектор на скалар, скаларното произведение на два вектора, водещо до запазване на модула на векторите, разстояния между точки, ъглите, ортогоналността и ортонормираността на векторите. Да разгледаме например скаларното произведение на два вектора и извършим трансформация на базиса

.

Векторите се разделят на (истински) вектори (наричани още полярни вектори) и псевдовектори (наричани още аксиални вектори). Тези два типа вектори се отличават по трансформационни свойства само при смяна на базиса от десен (ляв) към ляв (десен). При такава трансформация векторите остават неизменни, а псевдовекторите сменят посоката си на обратната. Пример за псевдовектор е векторното произведение на два вектора: , където .

Да разгледаме трансформацията на компонентите на псевдовектор A при трансформация на базиса. Разсъждавайки както за полярен вектор по-горе и вземайки предвид, че псевдовекторът сменя посока при преход към разноименен базис, можем да напишем

(права трансформация),

(обратна трансформация),

където знаците "+" ("") се отнасят за преход към едноименен (разноименен) базис.

5. Понятие за тензор. Тензор на напреженията. Закон за трансформация на тензор. Тензори от втори ранг

Скаларните и векторните величини намират широко приложение във физиката. Всяка от тези величини се определя в даден базис с някакъв брой числа (или функции), които се наричат нейни компоненти. Стойностите на компонентите може да са различни в различни базиси, но тъй като тези компоненти определят една и съща величина, законът за трансформацията на тези компоненти при смяна на базиса не може да е произволен. Този закон зависи от природата на величината и трябва да удовлетворява изискването за инвариантност на физичните закони при смяна на базиса.

Скаларите се определят напълно от една компонента, която е неизменна при смяна на базиса. Ако и са стойностите на скалара в стария и новия базис, то

.

Скаларите се наричат тензори от нулев ранг.

Векторите се характеризират с три компоненти спрямо даден базис. При смяна на базиса, тези три компоненти трябва да се трансформират по такъв начин, че да съответстват на същия вектор, т.е. да представят в пространството същата насочена отсечка. Преди, ние изведохме закона за трансформация на компонентите на вектор A във вида

.

Векторите се наричат тензори от първи ранг.

Във физиката често са необходими повече от три компоненти за характеризиране на физични величини. Такива многокомпонентни величини нямат просто геометрично представяне като векторите. Тук ще въведем тензора на напреженията и ще намерим как той се трансформира при смяна на базиса.

Да разгледаме точка в някаква непрекъсната среда и лицев елемент през тази точка. Средата от едната страна на елемента действа върху средата от другата му страна. Това действие се описва с вектора на напреженията p, дефиниран като сила на единица площ. Пълното описание на напреженията в дадената точка изисква познаването на p като функция на ориентацията на елемента n (n е единичен нормален вектор на лицевия елемент). Ще покажем, че вместо функцията , по-удобно е да се въведе 9-компонентна величина, не зависеща от n и определяща напреженията за всяко n.

Да разгледаме малък тетраедър от средата, включващ дадената точка, и с ръбове по векторите на ортонормиран базис. Лицата на стените, перпендикулярни на векторите , , , означаваме с , , . Средата действа на тетраедъра с напрежения , , и . Съответно тетраедърът действа върху средата с напрежения , , . Ако a е ускорението на центъра на масата на тетраедъра, f е резултантната на масовите сили на единица маса, то уравнението на движението на центъра на масата на тетраедъра с маса dm е

.

При стягане на тетраедъра в точка около дадената точка от средата, и

.

От и т. п. следва

или по компоненти

.

Тук са 9 напрежения, нормални (при ) и тангенциални (при ) на трите взаимно перпендикулярни лицеви елемента в дадената точка. Тези 9 величини не са свързани с ориентацията на лицевия елемент през нея. В същото време, те позволяват да се определи напрежението на всеки лицев елемент с ориентация n. Следователно съвкупността от величините определя еднозначно една физична величина, която характеризира напълно напреженията в дадената точка. Тази величина е тензор от втори ранг, който се нарича тензор на напреженията.

Да намерим закона за трансформация на компонентите на тензора на напреженията при преход от дадения базис към друг базис. Без ограничение на общността можем да считаме, че новия iти базисен вектор е насочен по n, т.е. . Компонентите на n в стария базис са . Тогава

.

Умножаваме това равенство с и получаваме

.

Можем да обобщим получения резултат като дефинираме тензор от втори ранг като величина, която се определя от 9 компоненти , които се трансформират при смяна на базиса по закона

.

Понякога е удобно да записваме тензора като матрица

.

Примери за тензори от втори ранг: величините , и т.н.


6. Събиране и умножение на тензори. Контракция на индекси. Симетрични и антисиметрични тензори. Симетризиране и алтерниране

Нека и са два тензора от втори ранг. Числата образуват тензор от втори ранг. Наистина, от и , следва . Тензорът се нарича сума на тензорите и , а операцията по съставяне на компонентите му се нарича събиране. Тази дефиниция се обобщава за тензори от произволен ранг.

Нека и са два тензора от втори ранг. Числата образуват тензор от четвърти ранг. Наистина, от и , следва . Тензорът се нарича произведение на тензорите и , а операцията по съставяне на компонентите му се нарича умножение (външно или тензорно). Тази дефиниция се обобщава за тензори от произволен ранг. Очевидно е, че , т.е. тензорното умножение е некомутативно. Тензорът , който е резултат от тензорно произведение на два вектора и , се нарича диада. В частност, тензорното произведение на векторите на базиса дава 9 диади. Компонентите на тензор от втори ранг могат да се разглеждат като коефициенти в разложението на тензора по тези 9 диади, т.е. . Това може да се обобщи за тензори от произволен ранг.

Контракция на индекси се нарича сумирането на компонентите на тензор по два кои да са индекса. Контракцията е възможна само при тензори от ранг ≥ 2. При контракцията рангът на тензора намалява с 2. Пример: . Умножението на тензори със следваща контракция на индекси на различни тензори се нарича вътрешно или скаларно произведение на тензори. Пример: .

Тензорът се нарича симетричен по двойката индекси i и k, ако . Тензорът се нарича антисиметричен по двойката индекси i и k, ако . Очевидно е, че (без сумиране по i). Свойството симетрия или антисиметрия не зависи от базиса. Наистина, ако е симетричен спрямо даден базис, т.е. , то .

Симетричният тензор и антисиметричният тензор имат матрици от вида

и .

Антисиметричният тензор от втори ранг се нарича бивектор.

Всеки тензор може да се представи като сума на симетричен тензор и антисиметричен тензор така

,

където

и .

Симетризиране се нарича операцията на пермутиране на два индекса на тензор и събиране на получения тензор с изходния. Полученият тензор е симетричен по дадената двойка индекси.

Алтерниране се нарича операцията на пермутиране на два индекса на тензор и изваждане на получения тензор от изходния. Полученият тензор е антисиметичен по дадената двойка индекси. По-горе, е получен чрез симетризиране, а - чрез алтерниране на . Пример за симетричен тензор е , т.нар. единичен тензор. Пример за антисиметричен тензор е алтернираното тензорно произведение на два вектора и : .

7. Еквивалентност на антисиметричен тензор от втори ранг на аксиален вектор

Антисиметричният тензор от втори ранг има три независими компоненти, които могат да се съпоставят на компонентите на аксиален вектор. Ще покажем, че формулите за трансформация на антисиметричен тензор могат да се сведат до формули за трансформация на някакъв аксиален вектор. Наистина, за антисиметричен тензор имаме

,

където (lm) = (12), (13), (23). Да въведем означенията

, , или ,

където l,m,n са циклична пермутация на 1,2,3. В матрично представяне има вида

.

В новия базис . Тогава горната формула може да се запише като

,

където r,i,k и l,m,n са циклични пермутации на 1,2,3.

Да разгледаме трансформацията на базисните вектори при преход от базис K към базис K'. От , следва и . Имаме

, където знакът + (−) е за l,m,n, образуващи циклична (нециклична) пермутация на 1,2,3. Тогава получаваме

(l,m,n са циклични пермутации на 1,2,3).

Ако K' е едноименен с К, то , а ако K' е разноименен с К', то (r,i,k са циклични пермутации на 1,2,3).

Следователно, за трансформация K към K' (едноименен) имаме

,

а за трансформация K към K' (разноименен) имаме

.

Оттук намираме съотношението

.

Тогава

.

Следователно, компонентите на антисиметричен тензор от втори ранг се трансформират като компоненти на аксиален вектор.

8. Главни оси на тензор от втори ранг. Привеждане към главните оси

Да разгледаме произволен тензор от втори ранг . Ако го умножим с вектор и извършим контракция по един от индексите на тензора, ще получим вектор с компоненти . Векторът е изобщо отличен от вектора по големина и посока. Да поставим задачата за намиране на такива вектори за даден тензор , които да не се завъртат от този тензор, т.е.

,

където е скалар. Тази задача има следния физичен смисъл. Напрежението на лицев елемент с нормала е като изобщо не е успореден на , т.е има както нормална, така и тангенциална компоненти. От интерес са лицеви елементи, на които има само нормални компоненти, а тангенциалната компонента е нула. За такива елементи или . Ориентацията на такива елементи се намира от уравнението . Електричната индукция се определя от ориентацията на приложеното електрично поле като изобщо те не са успоредни и . От интерес са направления, за които . Те се определят като решения на .

Ако за тензора съществуват вектори , удовлетворяващи , то направленията, определени от тези вектори се наричат главни (или собствени) направления на тензора . Осите на тези направления се наричат главни оси на тензора. Стойностите на компонентите на тензора спрямо главните оси се наричат главни (или собствени) стойности.

Главните направления и главните стойности намираме, решавайки системата линейни алгебрични уравнения

,

или

.

Тази система има нетривиално решение само, когато детерминантата на системата е нула, т.е.

.

Това е кубично уравнение спрямо λ. То се нарича характеристично уравнение на тензора . Ако корените му не са реални, то не съществуват главни направления.

Да разгледаме симетрични тензори от втори ранг. В случая всички корени на характеристичното уравнение са реални. Наистина, умножавайки с (компонентите на собствените вектори са изобщо казано комплексни) и сумирайки по i, получаваме ; използвайки , получаваме , където изразът в скобите е реален. Следователно са реални. Като следствие от това собствените вектори могат да се изберат с реални компоненти.

Имаме следните три случаи:

При системата уравнения дава три определени , , откъдето се получават три главни направления; собствените вектори са взаимно ортогонални; наистина, нека и са собствените вектори, отговарящи на различни собствени стойности и , т.е. и . Да умножим първото уравнение с , а второто - с : , Да извадим получените уравнения едно от друго: . Тъй като , то оттук следва, че , т.е. двата собствени вектора и са взаимно ортогонални.

При на отговаря главно направление, а на отговаря равнина, в която всяко направление е главно; собственият вектор е перпендикулярен на тази равнина; с собствените вектори и могат да се изберат ортогонални;

При всяко направление е главно; такъв тензор се нарича сферичен; трите собствени вектора могат да се изберат взаимно ортогонални.

На всеки симетричен тензор може еднозначно да се съпостави повърхност от втори ред от вида . Такава повърхност се нарича тензорна. Главните оси на тензора определят главните оси на тензорната повърхност. Спрямо главните оси , и тензорът се представя с диагонална матрица с елементи и следователно тензорната повърхност се описва от уравнението . Нека всички са положителни. Тогава:

Ако , то тензорната повърхност е елипсоид, а са отсечките, отсичани от главните оси от тензорната повърхност;

Ако , то тензорната повърхност е ротационен елипсоид;

Ако , то тензорната повърхност е сфера.

9. Инварианти на тензор. Девиатори. Признак за тензорност

Компонентите на вектора A се изменят при преход от един базис към друг базис. Обаче с тези компоненти може да се състави величина, която е неизменна при смяна на базиса, а именно . Такава величина се нарича инвариант на вектора и се означава с .

Инварианти могат да се съставят и от компоненти на тензор от произволен ранг. За да получим инвариантите на тензор от втори ранг, разписваме характеристичното уравнение

Тъй като са скалари и затова не зависят от избора на базиса, то коефициентите на това уравнение също не трябва да се изменят при смяна на базиса. Така величините

,

,

,

са инварианти на тензора от втори ранг. Припомняме, че теоремите на Виет дават следната връзка между инвариантите и корените на уравнението: , , . Използвайки тези инварианти, можем да съставим безброй други инварианти, представляващи техни всевъзможни комбинации.

Тензори, за които се наричат девиатори. Всеки тензор може да се разложи на девиатор и сферичен тензор

.

Тук

е девиатор, защото .

В допълнение към даденото определение на тензор като величина, трансформираща се по определен закон, може да се даде и друго определение на тензор, което обикновено се разглежда като признак за тензорност. В случая на тензори от втори ранг, признакът за тензорност на 9 величини може да се формулира както следва. Нека и са компонентите на два произволни вектора. Ако с помощта на 9те величини може да се образува инвариант от вида

,

то тези 9 величини съставят тензор от втори ранг. Наистина, използвайки, че този израз е инвариант, както и законите за трансформация на и , получаваме

.

Оттук следва

.

От произволността на и следва . Аналогично се доказва признакът за тензорност за тензор от произволен ранг.

10. Псевдотензори. Закон за трансформация. Единичен псевдотензор

Вече отбелязахме, че посоката на зависи от това дали базисът е десен или ляв. Такъв е векторът на ъгловата скорост, който сменя посока при преход от десен (ляв) базис към ляв (десен) базис. Такива вектори нарекохме псевдовектори.

Прието е трансформациите на базисите да се класифицират със стойностите на детерминантата на тензора

.

Тази детерминанта може да има само две стойности и . Наистина,

.

Но , откъдето следва .

В тази връзка, да разгледаме двата основни класа трансформации на базиса:

- клас от трансформации на движение (или непрекъснати трансформации). Такива трансформации представляват непрекъснато преместване и завъртане на базиса от едно положение в друго положение. При това, десният (левият) базис се трансформира в десен (ляв) базис. Тези трансформациите имат . Наистина, при тъждествена трансформация базисът не се променя и следователно . При непрекъсната трансформация на базиса, е непрекъсната функция на и следователно не може да се измени със скок от +1 до -1.

- клас от трансформации на отражение. При отражения в равнините, определени от базисните вектори, десният (левият) базис преминава в ляв (десен) базис. Тези трансформации имат .

В зависимост от трансформацията на компонентите спрямо тези два класа от трансформации, тензорните величини могат да се разделят на истински тензори (или просто тензори) и псевдотензори. Псевдотензор наричаме величина, чиито компоненти се трансформират по закона

.

Отбелязваме, че в закона за трансформация на истинските тензори отсъства множителят .

Алгебрата на тензори и псевдотензори може да се обобщи така:

- сумата на два псевдотензора от един и същ ранг е псевдотензор от същия ранг;

- произведението на два псевдотензора е (истински) тензор, чиито ранг е сума от ранговете на двата тензора;

- произведението на тензор и псевдотензор е псевдотензор;

- контракцията на псевдотензор дава псевдотензор от по-нисък ранг.

Като пример за псевдотензор от трети ранг да разгледаме символа на Леви-Чивита . Спрямо базис К имаме , а спрямо базис К' имаме . Тогава . При трансформация от базис К към базис К', ако К и К' са десни (леви), то , а ако К е ляв (десен) и К' е десен (ляв), то . Обединяваме двата резултата в равенството . Следователно . С това доказахме, че величините образуват псевдотензор. Той се нарича единичен псевдотензор.

Като следствие, лесно се показва, че:

- векторното произведение на два вектора и е псевдовектор. За целта се използва, че , т.е. C е произведение на псевдотензор от трети ранг и два вектора.

- обемът на паралелепипеда , построен върху векторите , и , е псевдоскалар. За целта се използва, че , т.е. V е произведение на псевдотензор от трети ранг и три вектора.


II. Векторна и тензорна алгебра във векторно пространство, отнесено към клиногонален базис

11. Трансформация на базисните вектори. Взаимни базиси

Да разгледаме произволен базис , , (изобщо неортогонален и ненормиран на единица). При смяна на базиса новите базисни вектори , , са свързани със старите чрез съотношенията

(права трансформация),

(обратна трансформация).

(Тук и надолу горните индекси не означават показател на степен.) Да намерим връзката между величините и . За целта заместваме първото уравнение във второто и второто уравнение в първото

, ,

откъдето

, .

Тук е символът на Кронекер: , ако , и , ако . (Това не са съотношения за ортогоналност, каквато не е предположена!) По-долу ще намерим конкретния вид на и .

Да въведем понятието взаимни базиси: два базиса , , и , , се наричат взаимни, ако векторите им удовлетворяват съотношението

.

От определението е ясно, че всеки вектор от единия базис е ортогонален на два вектора от взаимния базис. Така, ако върху векторите на двата базиса построим паралелепипеди с обеми и , то ребрата на единия паралелепипед ще са перпендикулярни на стените на другия и обратно.

Да построим базис , , , който е взаимен на даден базис , , . От определението на взаимен базис имаме , т.е. . От , следва и . Следователно,

, ,

или

, ,

където са циклична пермутация на 1,2,3.

Ако базисът , , е ортонормиран, то взаимният му базис , , съвпада с него.

Ако основният базис е десен (ляв), то взаимният му базис е също десен (ляв). Това следва от .

Величините и могат да се изразят чрез векторите на двата взаимни базиса. За целта умножаваме правата и обратната трансформации съответно с и ; предвид , получаваме

и .

Ако базисът , , е ортонормиран, то , и , където е ортогонална матрица, а съотношенията за стават съотношения за ортогоналност.

Накрая, векторите на взаимния базис се трансформират по закона

(права трансформация),

(обратна трансформация).

Това се проверява лесно чрез заместване в определението за взаимни базиси и използване на съотношенията между и .

12. Ковариантни и контравариантни компоненти на вектор. Трансформация на компонентите

Да разгледаме произволен базис , , . Всеки вектор A може да се разложи по базисните вектори така

.

Компонентите на A намираме чрез умножаване на това равенство с векторите на взаимния базис

.

Следователно

.

Аналогично имаме разложение на A по векторите на взаимния базис

,

,

.

Следователно, коефициентите на разложението (т.е. компонентите) на вектор A по даден базис се изразяват чрез проекциите на вектора върху взаимния базис.

Величините се наричат контравариантни компоненти на A, а се наричат ковариантни компоненти на вектора A.

Да намерим законите за трансформация на ко- и контравариантните компоненти на вектор при смяна на базиса. Имаме

,

,

откъдето

(права трансформация),

(обратна трансформация),

(права трансформация),

(обратна трансформация).

За разлика от случая на ортонормирани базиси, където и се трансформират по един и същ закон, тук и се трансформират по един и същ закон, но и се трансформират по различен закон. Затова и се наричат ковариантни и контравариантни компоненти на вектор A.

13. Връзка между ковариантните и контравариантните компоненти на вектор. Метричен тензор

Връзката между ко- и контравариантните компоненти на вектор може да се изведе като се умножи разложението скаларно с и разложението се умножи скаларно с . Получаваме

,

или

,

,

което са търсените съотношения. Тук са въведени означенията

,

.

Както ще покажем по-нататък, деветте величини и образуват тензор от втори ранг. Той се нарича метричен (или фундаментален) тензор. Той е основна характеристика на пространството, ариметризирано с въвеждане на базиса , , . За съотношенията между и говорят като за операции на вдигане и смъкване на индекси.

Да намерим връзката между и . За целта, от определяме , където

,

а са адюнгираните количества, отговарящи на елементите

, , , ..., или ,

където и са циклични пермутации на 1,2,3.

Сравняваме получения израз за с и намираме, че

, .

Тук

и

.

От друга страна, с непосредствено пресмятане намираме

.

Следователно

,

или

, .

Знаците отговарят на дясен/ляв базис. От , следва . В частност, обемите на паралелепипедите, построени върху векторите на взаимните базиси са и , и са свързани с .

14. Физически компоненти на вектор. Скаларно, векторно и смесено произведения на вектори

При разглеждането на даден базис и неговия взаимен базис предполагахме, че и двата базиса са изобщо казано ненормирани. Причина за такова допускане е, че ако базисът е нормиран, то в общия случай взаимният базис не може да се нормира, и обратно. Тогава, във физическите приложения се оказва, че базисните вектори ще имат някаква размерност. Тогава размерностите на компонентите и на един и същ вектор ще бъдат различни. Могат обаче да се въведат т.нар. "физически" компоненти на вектор, чиято размерност да съвпада с размерността на вектора. За целта дефинираме единичен векторен базис и съответния на него взаимен базис с помощта на съотношенията (няма сумиране по i)

, .

Тогава физическите компоненти на вектора в разложението се дават с

, .

От , следва (без сумиране по ). Обикновено, горните изрази се записват с използване на вместо .

Физически компоненти на вектор могат да се въведат и като се избере единичен взаимен базис и съответен на него векторен базис с помощта на съотношенията (няма сумиране по i)

, .

Тогава физическите компоненти на вектора в разложението се дават с

, .

Очевидно и , т.е. двете определения на физичните компоненти се отличават само по избора на мащаба. Подчертаваме, че всички пресмятания се извършват с обичайните ко- и контравариантни компоненти и само в края, ако е нужно, се преминава към физически компоненти.

Скаларното произведение на два вектора може да се изрази чрез ко- и контравариантните компоненти на двата вектора така

.

Модулът на вектор е

.

Ъгълът между два вектора и е

.

Векторното произведение на два вектора може да се запише така

.

Но и . Тогава, от , следва

,

,

където са циклични пермутации на 1,2,3.

Използвайки символа на Леви-Чивита, можем да напишем

,

.

Смесеното произведение на три вектора може да се напише във вида

.

Аналогично се намират представянията чрез компонентите и на по-сложни комбинации от скаларно и векторно произведения от вектори.

15. Ковариантни, контравариантни и смесени компоненти на тензор. Операции на вдигане и смъкване на индекси

Спрямо произволен базис един вектор (т.е. тензор от първи ранг) се определя напълно с трите си ко- или контравариантни компоненти, и . При смяна на базиса тези компоненти се трансформират по закона

, .

Ко- и ковариантните компоненти не са независими, а са свързани с компонентите на и чрез съотношенията

, .

Аналогично се разглеждат и тензори от по-висок ранг. Тензор от втори ранг се определя от ковариантните компоненти , контравариантните компоненти и смесените компоненти и . Точката в индекса определя реда на долните и горните индекси. При смяна на базиса тези компоненти се трансформират по закона

, , , .

Компонентите на тензора са свързани помежду си със съотношенията

, ,

, ,

, .

За тези съотношения говорят като за операции на вдигане и смъкване на индекси.

Ще докажем, че , и са ковариантни, контравариантни и смесени компоненти на тензор от втори ранг. Наистина

,

,

.

Следователно, , и са ковариантни, контравариантни и смесени компоненти на тензори от втори ранг.

За да докажем, че , и са компоненти на един и същ тензор, да намерим връзката между тях. От дефиницията на и от определението на взаимен базис имаме и, следователно,

,

.

Така, , и са свързани помежду си с операциите на вдигане и смъкване на индекси и следователно са компоненти на един и същ тензор. Отбелязваме, че в смесените компоненти на този тензор, мястото на индексите (първо или второ, долно или горно) е без значение и, че те съвпадат със символа на Кронекер.

Символът на Кронекер допуска обобщение във вида . Тези величини имат стойност 1, ако горните индекси са свързани с долните с четен брой пермутации; -1, ако горните индекси са свързани с долните с нечетен брой пермутации; 0 - във всички останали случаи.

Символът на Леви-Чивита допуска обобщение във вида

, ,

и има свойствата

,

,

.

16. Събиране и умножение на тензори. Контракция на индекси. Симетрични и антисиметрични тензори. Привеждане към главните оси. Инварианти. Псевдотензори

Ще приведем основните действия и свойства на тензори чрез техните ковариантни, контравариантни и смесени компоненти.

Събиране на тензори: събираемите и сумата имат еднакъв брой и еднакво разположени индекси

, , и т.п.

Умножение на тензори: множителите могат да имат произволен брой и произволно разположени индекси (външно произведение на тензори)

и т.п.

Контракция на индекси: извършва се само по двойка разноименни индекси

, (вътрешно произведение на тензори) и т.п.

Симетричен тензор: по двойка едноименни индекси

, и т.п.

Антисиметричен тензор: по двойка едноименни индекси

и т.п.

Привеждане на тензор към главните оси:

, ,

.

Инварианти на тензор:

От характеристичното уравнение можем да получим инвариантите на тензор от втори ранг

, , .

Тензори, за които , се наричат девиатори. Всеки тензор може да се разложи на девиатор и сферичен тензор:

,

,

.

Очевидно , т.е. това са компоненти на девиатор.

Признак за тензорност:

Ако за два произволни вектора и имаме

, , ,

то величините , , са съответно ковариантни, контравариантни и смесени компоненти на тензор от втори ранг.

Псевдотензор:

,

където .

 

 


 

III. Векторен и тензорен анализ - декартов аспект

17. Ортонормиран декартов репер. Трансформация на координатите

Физичните свойства, имащи векторен и тензорен характер, могат да се изменят както с течение на времето, така и от точка до точка. Това води до разглеждане на векторите и тензорите, описващи тези свойства, като функции на времето и точките на пространството.

Да разгледаме точковото пространство на елементарната геометрия. На всяка двойка точки A и B от него може да се съпостави вектор със свойствата: ; ; ако O е произволна точка, то на всеки вектор A от линейното векторно пространство на векторите от класическата геометрия отговаря само една точка A такава, че . Точково пространство с такива свойства се нарича афинно точково пространство.

В разглежданото афинно точково пространство въвеждаме понятието декартов репер като система от точка O и векторен базис на свързаното с това точково пространство линейно векторно пространство. Точка O се нарича начало на репера. Правите линии по векторите на базиса, имащи положителна посока, определена от тези вектори, се наричат координатни оси. Равнините, определени от двойки координатни оси, се наричат координатни равнини. Декартовият репер може да е ортогонален или клиногонален, ляв или десен в зависимост от базиса.

В случая на ортогонален декартов репер базисните вектори ще считаме нормирани на единица и ще означаваме с , , . Координатните оси на такъв ортонормиран декартов репер ще означаваме с , , , а координатните равнини - с , , . В тази глава ще разглеждаме по подразбиране само десни ортонормирани декартови репери.

Положението на точка M в пространството се определя от нейния радиус-вектор r. Той може да се разложи по базисните вектори на ортонормиран репера така

.

Компонентите , , на r се наричат декартови координати на точката M.

Да разгледаме трансформацията на координатите на радиус-вектора на дадена точка при ортогонална трансформация на базисните вектори на репера, задавана от равенството . Такава трансформация може да се разглежда като завъртане на базисните вектори и на самия репер (фиг.). Радиус-векторът може да се разложи по базисните вектори на стария и новия базиси така

,

откъдето намираме трансформационния закон на самите координати

(права трансформация),

(обратна трансформация).

Трансформацията на репера може да включва и отместване на началото му, при което в тези две равенства се добавят координатите на вектора на това отместване.

Отбелязваме, че разглежданото афинно точково пространство е истинско евклидово точково пространство, тъй като свързаното с него векторно пространство е истинско евклидово. Квадратът на разстоянието между две точки A и B с координати и е нормата на вектора , която е . За две безкрайно близки точки A и B с координати и нормата на е .

18. Векторна функция на времето. Непрекъснатост. Производни. Неопределен интеграл

Ще предполагаме, че векторните величини, описващи физични свойства, са функции на времето t и радиус-вектора r. Спрямо даден ортонормиран декартов репер една такава векторна величина A може да се разложи по компоненти така

.

Да разгледаме първо векторна величина , зависеща само от един скаларен аргумент t, например времето. Винаги ще предполагаме, че A е непрекъсната функция на t, т.е. ще считаме, че за две безкрайно близки стойности t и t + Δt разликата може да бъде направена достатъчно малка при достатъчно малко Δt. В случая казваме, че е границата на при Δt, клонящо към нула и записваме това така

.

За да дефинираме понятието производна на вектор по скалара t, да разгледаме разликата , съставим отношението на тази разлика с Δt и устремим Δt към нула. Ако тази граница съществува, то тя се нарича производна на вектора A по скалара t и се означава така

.

Производната на вектор по скалар има следните основни свойства:

,

,

,

,

,

където A и B са две векторни величини, а φ и u са два скалара.

За векторна величина се доказва разложението в ред на Тейлор

.

Неопределен интеграл се дефинира така: ако , то се нарича неопределен интеграл от и се означава като

.

Определен интеграл се дефинира с равенството

.

19. Приложение на производна на вектор по скалар. Формули на Френе

Да разгледаме движението на материална точка с радиус-вектор r. С течение на времето точката описва някаква крива в пространството. Нека описваме положението на точката във всеки момент t с дължината s на дъгата от кривата, отчитана от някаква точка от кривата. По този начин r ще бъде функция от s. Тогава скоростта и ускорението на материалната точка ще се дават с производните

,

.

Да изясним геометричния смисъл на и . Векторът има направление на тангентата в дадената точка и посоката на движението. От , следва . Следователно, е единичен тангенциален вектор - да го означим с :

.

Да разгледаме . От , следва , т.е. е перпендикулярен на в дадената точка. Равнината, съдържаща дъгата с дължина ds се нарича тангенциална равнина в дадената точка. Тази дъга е част от окръжност с някакъв радиус R (т.нар. радиус на кривината), която лежи в тангенциалната равнина. Нарастването също лежи в тангенциалната равнина и е насочено към центъра на тази окръжност. Това направление се нарича главна нормала в дадената точка от кривата.

Големината на намираме от подобието на триъгълника, съставен от точките , и центъра на окръжността, и триъгълника от векторите , и . От това подобие следва, че . Да дефинираме единичен вектор на главната нормала n чрез равенството

, (1)

където радиусът на кривината се дава от

.

Следователно,

,

.

И така, скоростта има само тангенциална компонента, а ускорението има тангенциална и нормална компоненти.

Направлението, перпендикулярно на тангенциалната равнина в дадената точка на кривата, т.е. на векторите и n в тази точка, се нарича бинормала. Да дефинираме единичен вектор на бинормалата така

.

Да разгледаме . От , следва , т.е. е перпендикулярен на . От , следва . Така, е перпендикулярен и на . Следователно, има направление на главната нормала:

. (2)

Величината T характеризира изменението на направлението на бинормалата (или на тангенциалната равнина) при преместване по кривата по посока на ; тази величина се нарича радиус на усукване. Тази величина е положителна (отрицателна), ако усукването отговаря на завъртане на десен (ляв) винт спрямо посоката на . Да намерим израз за T. Умножаваме скаларно с n и получаваме . Предвид , , имаме и . Следователно,

Накрая, да разгледаме . От , следва . И така,

. (3)

Съотношенията (1), (2) и (3) се наричат формули на Френе. Те са основни формули на диференциалната геометрия на кривите.

20. Функции на векторен аргумент. Скаларно и векторно поле. Изоповърхности. Векторни линии

Нека с всяка точка от някаква част на пространството е свързана стойност на скалар φ или вектор A. Тогава казваме, че в тази част на пространството е дефинирано скалaрно или векторно поле. Тъй като всяка точка от пространството е определена с радиус-векторът r, то скаларното или векторното полета могат да се зададат като на всеки радиус-вектор r се съпостави стойност на някаква скаларна функция φ(r) или някаква векторна функция A(r). Често се разглеждат скаларни и векторни функции, изменящи се във времето φ(r,t) и A(r,t).

Полетата биват постоянни (или стационарни), ако не се изменят във времето, и променливи (или нестационарни), ако се изменят във времето. Полетата биват също хомогенни, ако не зависят от точката от пространството, и нехомогенни, ако зависят от точката от пространството. Полетата биват едномерни, двумерни или тримерно, ако са дефинирани на линия, върху повърхност или в пространството.

Примери за скаларни полета са скаларното поле на температурата, налягането, плътността и т.н. в някаква част от пространството. Примери за векторни полета са полето на силата на тежестта, интензитета на електричното поле, и т.н. в някаква част на пространството, както и полето на скоростите в някаква част на движещ се флуид.

Ще предполагаме, че скаларните и векторните полета са непрекъснати функции от r, т.е. ще считаме, че разликите и могат да бъдат направени по модул достатъчно малки при достатъчно малко по модул .

За геометрично представяне на скаларните полета в даден момент се въвеждат т.нар. изоповърхности, които се дефинират с уравнението . Константата C може да взема стойности между минималната и максималната стойност на полето. През всяка точка минава само една изоповърхност. В случая на двумерни полета, това уравнение дава изолинии.

За геометрично представяне на векторните полета в даден момент се въвеждат т.нар. векторни линии, които са линии, във всяка точка на които векторът е насочен по тангентата към линията. За дадена линия през дадена точка, единичният тангенциален вектор към векторната линия е . Условието векторът A да е тангенциален към векторната линия може да се запише като условие за успоредност на и A във вида или, умножавайки това уравнение с ds

.

Това е диференциално уравнение на векторна линия във векторна форма. За да получим диференциалното уравнение на векторна линия по компоненти спрямо ортонормиран декартов репер, изхождаме от уравнението за колинеарност :

.

Самата големина на векторното поле в дадена точка може да се изобрази с различна гъстота на векторните линии през единична площ през точката, която е перпендикулярна на линията през точката. Често използват и понятието векторна тръба, която е геометрична фигура, образувана от векторните линии, минаващи през контура на някаква повърхност.

21. Теорема на Остроградски

Теорема на Остроградски: ако функциите , , , , и са непрекъснати в обем и върху ограничаващата го повърхност , то

,

където е външен единичен нормален вектор към S. Това съотношение се нарича формула на Остроградски.

За доказателство е достатъчно да се докаже, че

.

Да разгледаме случая, когато всяка права, успоредна на оста пресича S в не повече от две точки M' и M'' със стойности P' и P'' на функцията P. Нека лицевите елементи в тези две точки са dS' и dS'' с външни единични нормални вектори n' и n''. Ако S23 е проекцията на S върху равнината , то

.

Но . Следователно,

.

Аналогично се доказва, че

,

.

Събирайки трите уравнения получаваме формулата на Остроградски.

Теоремата на Остроградски е в сила и за обем , който е произволно разположен спрямо репера така, че права може да го пресича в произволен брой точки. Също така, обемът може да не бъде едносвързана област. И в двата случая, обемът се разделя на части, които удовлетворяват изискванията на теоремата по-горе, а получените формули се събират.

Формулата на Остроградски може да се приложи в случая на векторно поле A с компоненти , , . Тогава, формулата на Остроградски се записва във вида

.

22. Теорема на Стокс. Теорема на Грийн

Теорема на Стокс: ако функциите , , , , , , , и са непрекъснати върху повърхност и по ограничаващия я контур L, то

,

където е единичен нормален вектор към S. Това съотношение се нарича формула на Стокс.

Предполагаме, че S е двустранна, а посоката на обхождане на L е свързана с положителната посока на n по правилото на десния винт.

Да разгледаме първо случая, когато повърхността е плоска област σ, ограничена от контур l. Ще докажем т.нар. теорема на Грийн: ако , , и са непрекъснати функции, то

.

Това съотношение се нарича формула на Грийн.

Ще предполагаме, че прави, успоредни на оста , пресичат l в не повече от две точки. Тогава

.

Но всеки интеграл в дясната страна е криволинеен интеграл по и :

,

където контурът l се обхожда против часовниковата стрелка. Следователно,

.

Аналогично се доказва, че

.

Комбинираме двата резултата и получаваме формулата на Грийн.

Да преминем към доказателството на теоремата на Стокс. Ще предполагаме, че прави, успоредни на , пресичат S само веднъж. Проекцията на S върху е плоска област σ, а проекцията на контура L е контур l. При избор на посоката на обхождане на l против часовниковата стрелка, единичният нормален вектор на σ е насочен по оста . Тогава единичния нормален вектор n на S има компонента . Нека S се описва от . Тогава интегралът по L се свежда до интеграл по l

.

Прилагаме формулата на Грийн:

.

Тук използваме, че , а от (вж. лекцията за градиент на скаларно поле)

, , ,

където и , намираме, че . Тогава

.

Аналогично се доказва, че

,

.

Събираме трите съотношения и получаваме формулата на Стокс.

Теоремата на Стокс е в сила и за повърхност S, която е произволно разположена спрямо репера така, че права може да я пресича в произволен брой точки. Също така, повърхността може да има за граница повече от един контура. И в двата случая, повърхността се разделя на части, които удовлетворяват изискванията на теоремата по-горе, а получените формули се събират.

Формулата на Стокс може да се приложи в случая на векторно поле A с компоненти , , . Тогава, формулата на Стокс се записва във вида

,

където линейният елемент е .

23. Производна по посока на скаларно поле. Градиент на скаларно поле. Свойства. Оператор на Хамилтон

Да разгледаме скаларното поле . Да изберем някаква точка от полето и да свържем тази точка с отсечка с точка , където l е единичния вектор , а ε е безкрайно малката величина . При преход от M към M', функцията φ се изменя с . Частното при ще наречем производна на φ по посоката l в точката M и ще я означим с :

.

Познаването на във всяка посока позволява да се пресметне φ в съседни на M точки с точност до членове от втори ред.

Да намерим в ортонормиран декартов репер. Имаме

.

Тогава

.

Понятието производна по посока е тясно свързано с понятието производна по крива. Да разгледаме кривата l, която има тангента в точката M по посоката l. Имаме

,

където , , . Тъй като , то достигаме до израза за по-горе. От горната формула е ясно, че можем да представим като проекция на вектор с компоненти , , по посоката l. Този вектор ще наречем градиент на φ в точка M и ще го означим с . Така

.

Тогава, производната на φ по посоката l можем да запишем като

.

Очевидно е, че достига максимална стойност за посока l, съвпадаща с посоката на като тази максимална стойност е равна на . Затова можем да дадем и друга дефиниция на градиента: градиент на φ се нарича вектор, имащ посоката на най-бързото нарастване на φ и по големина е равен на производната в тази посока. Посоката на най-бързото нарастване съвпада с посоката на нормалата на изоповърхността през точка M. Наистина, ако l лежи на изоповърхност, то и следователно , т.е е насочен по нормалата към изоповърхността в точка M. Да изберем единичния нормален вектор n в посоката на нарастване на φ. Тогава

, .

Градиентът на φ е векторно поле с векторни линии, които са перпендикулярни на изоповърхностите на φ.

Градиентът има следните свойства:

, , .

Удобно е да считаме като получен от действието на диференциален оператор върху φ. Този оператор се означава с и се нарича оператор на Хамилтон. Спрямо ортонормиран декартов репер той има вида

.

Тогава

.

Диференциалът на φ може да се изрази чрез . От ,

следва

.

24. Абсолютна дефиниция на градиент на скаларно поле

Векторът може да се дефинира и независимо от репера. Да приложим формулата на Остроградски към векторно поле , където c е произволен константен вектор. Имаме , , . Заместваме вектора и частните му производни в лявата и дясната страна на формулата на Остроградски:

,

.

Следователно,

.

Тъй като c е произволен вектор, то равенството на нула на скаларното произведение означава равенство на нула на израза в скобите

.

Да разгледаме малък обем τ около точка M. Тогава интегралът по обема τ от ще бъде равен на стойността на тази частна производна в някаква точка M', умножена по обема τ (т.нар. теорема за средната стойност)

.

От друга страна

.

В границата , имаме , и следователно

.

Аналогично се получават изрази и за другите две компоненти на . Окончателно получаваме

.

Това равенство, ако границата съществува, може да служи като дефиниция на градиент на скаларното поле. Преимуществото на тази дефиниция е, че тя не зависи от избора на репера. Тази формула може да служи и като абсолютна дефиниция на оператора набла, независеща от репера

.

25. Производна по посока на векторно поле. Градиент на векторно поле. Тензор на деформациите

Да разгледаме векторното поле . Да разгледаме отсечката MM', свързваща две безкрайно близки точки и в полето, където l е едниничния вектор на отсечката MM'. Производна на A по посоката l в точката M ще наричаме границата на частното на и ε при и ще я означаваме с

.

Познаването на във всички посоки позволява да пресметнем A в съседни на M точки с точност до членове от втори ред.

Да намерим . За всяка от компонентите на A намираме подобно на случая на скаларно поле

.

Следователно може да се разглежда като проекция на вектор с компоненти , , по посоката l, който е градиент на

.

Тогава,

,

откъдето

.

Диференциалът на векторното поле A е

.

Може да се покаже, че деветте компоненти на величината (градиент на вектор или голям градиент) образуват тензор от втори ранг; наистина

.

Следователно, съвкупността от безкрайно много производни по посока на A се определя от тензора от втори ранг .

Аналогично на случая на скаларно поле, абсолютната дефиниция на градиент на векторно поле е

.

Като пример да разгледаме полето на преместванията в една непрекъсната среда. Относителното преместване на някаква точка B от средата